sen(a+b) = sen a · cos b + sen b · cos a
No primeiro 'rascunho', usamos o conceito de distância entre dois pontos (num certo sistema de coordenadas) e a definição das funções seno e cosseno no círculo de raio 1. Para o que segue, usaremos a definição do seno e do cosseno (de um ângulo) em um triângulo retângulo, e fórmula(s) para o cálculo da área de um triângulo qualquer.
:: 2ª Maneira ::
{#} S = [z · w · sen(a+b)]/2 .
Além disso, esta mesma área também pode ser calulada por
S = (base · altura)/2
considerando a base como sendo o lado oposto ao ângulo 'a+b'. Assim, temos que
{##} S = [(x + y) · 1]/2 = (x + y)/2 .
[z · w · sen(a+b)]/2 = (x + y)/2
z · w · sen(a+b) = x + y
sen(a+b) = [x + y]/(z · w).
Agora, resta-nos "relacionar" as váriáveis x, y, z e w com os valores que as funções seno e cosseno assumem nos ângulos 'a' e 'b'.
Assim,
|| sen a = y/w || sen b = x/z || cos a = 1/w || cos b = 1/z ||
Assim,
sen(a+b) = [x + y]/(z · w) = [x/(z · w)] + [y/(z · w)] =
[(x/z) · (1/w)] + [(1/z) · (y/w)] = [sen b · cos a] + [cos b · sen a].
sen(a+b) = sen a · cos b + sen b · cos a.
E, portanto, reajustanto a última expressão teremos a igualdade desejada
sen(a+b) = sen a · cos b + sen b · cos a.
Nesta última igualdade, se trocarmos 'b' por '-b', e usarmos os fatos de cos(-b) = cos b e sen(-b) = - sen b, teremos que
sen(a - b) = sen a · cos b - sen b · cos a.
Há uma outra forma mais 'onesta' de se mostrar isto. Para tanto, pode-se utilizar a figura abaixo:
E é um bom exercício verificar tal igualdade, o qual deixaremos para o leitor!Bibliografia
Para os dois 'rascunhos', utilizamos o livro Trigonometria Números Complexos, de autoria de Manfredo P. do Carmo, Augusto C. Morgado e Eduardo Wagner, com notas históricas de João Bosco P. de Carvalho.
6 comentários:
Muito bom, estou estudando cálculo como passatempo e necessitei da dedução do sen(a+b), parabéns pela dedução.
que legal... estudando cálculo como passatempo!!! vc é aluno de que nível de ensino?
este blog está meu desatualizado, mas estamos com outro blog, um pouco menos desatualizado: http://morfismo.wordpress.com
também achei o blog pra consultar sen(a+b) pro cálculo, mas não como passatempo! HAHAHAHA
como resolvo isso
como faço essas contas ?
So deus sabe
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