Um pouco de Matemática Financeira

O que é a Matemática Financeira?

Poderíamos dizer que a matemática financeira é uma matemática do ensino básico aplicada aos cálculos financeiros. Claro que assim definindo, estamos simplificando as coisas, mas também não estaríamos muito longe da verdade. Claro que nesse processo de aplicação muitos conceitos novos surgem e novas "fórmulas" são estabelecidas, mas nada que sofistique o assunto além do nível de matemática aprendido no ensino médio. Não significa, no entanto, que só por isso os problemas se tornem fáceis. Existem problemas de matemática financeira de razoável dificuldade. No entanto, eles se curvam diante de um estudo que tenha sido desenvolvido com preocupação na conceituação correta dos termos e suas definições. A matemática financeira considera um conceito muito importante que é o valor do dinheiro no tempo, o qual não é considerado pela matemática pura, apesar da matemática financeira ser uma aplicação de progressões aritmética e geométrica.

Para que serve a Matemática Financeira?

Dentre muitas outras coisas, ela serve para subsidiar grande número de cálculos que ocorre em finanças. Além de ser de extrema importância no dia-a-dia das pessoas: é triste saber que uma pessoa que concluiu o ensino básico não sabe tomar uma decisão de compra à vista ou a prazo. Serve também para saber que quando o vendedor de uma determinada loja está faltando com a verdade quando diz "... à vista você tem 10% de desconto e a prazo você pode pagar em 10 vezes sem juros..." (mesmo sem saber!). Por exemplo, imaginemos a seguinte situação: uma mercadoria está anunciada com o preço de R$100,00, mas é dito pelo vendedor que a mesma paga à vista custa R$80,00. No anúncio é dito que para pagamento à vista é feito um desconto de 20% e que se o pagamento não for feito à vista (por exemplo, daqui a 30 dias), então o preço será o integral, ou seja, R$100,00. Não sei se você consegue observar (se ainda não, esperamos que mais tarde consiga!), mas estamos diante de um problema de juros compostos. Na verdade o preço real da mercadoria é R$80,00, pois preço é aquilo que está sujeito a pagamento à vista. Ora, se pagarmos 30 dias depois pagaremos R$20,00 a mais, consequentemente estaremos pagando 25% de juros, pois R$20,00 representa 25% de R$80,00 (20 ÷ 80 = 0,25). Você deve está se perguntando porque o comércio faz isso. (Ou pelo menos deveria!!!)

A(s) resposta(s) fica(m) para um próximo post! Além disso, responderemos ...

... O que seria o conceito de "valor do dinheiro no tempo"?

Abordaremos também os conceitos "Fluxo de Caixa", "Juros" e "Taxa de Juros".

Até a próxima...

Como não resolver um Problema de Matemática

Existem muitas técnicas para não conseguir resolver um problema de Matemática. Por exemplo

• Transformar o problema em outro difícil (ou impossível), e concluir que o problema (original) está errado.
• Utilizar ferramentas poderosas (que ainda não se tem um certo domínio), em vez de ferramentas simples (que se conhece e tem domínio).
• Sobrestimar o problema, tentando se convencer que a solução deste é complicada.
• Pensar no problema em vez de uma solução.
• Não sabendo o que exatamente o problema pede.
• Tentar resolver o problema olhando para o enunciado.

Aqui no blog há vários problemas espalhados no meio dos posts. Tente "não" resolvê-los!!!

Uma Prova da Fórmula de Heron

Encontrei uma prova, bem interessante, da Fórmula de Heron usando a forma geométrica dos números complexos. A prova é de Miles Dillon Edwards do Lassiter High School (Marietta - GA 30066) e foi publicada no The American Mathematical Monthly (ed. Dez/2007 - pág. 937).


» Prova: Seja I o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC [ou seja, o incentro do triângulo ABC]. Seja a = y + z , b = x + z e c = x + y os comprimentos dos lados opostos aos vértices A, B e C, respectivamente. (veja figura abaixo)[Para verificar, por exemplo, que os triângulos de lados x, r e u são congruentes, use o fato de o incentro ser o encontro das bissetrizes do triângulo ABC e que cada um desses triângulos possuir um ângulo reto - pontos de tangência do segmento de reta que liga o centro da circunferência ao respectivo lado.]

Tome s = x + y + z como sendo o semi perímetro do triângulo ABC. Claramente 2α + 2β + 2φ = 2π e, portanto, α + β + φ = π . Agora note que

(r + ix)·(r + iy)·(r + iz) = {u·exp(iα)} · {v·exp(iβ)} · {w·exp(iφ)}
= uvw·exp(iα + iβ + iφ) = uvw·exp(iπ) = - uvw .

Portanto,

0 = Im{(r + ix)·(r + iy)·(r + iz)} = r² (x + y + z) - xyz,

e então

r = √{(xyz)/(x + y + x)} = √{(s - a)·(s - b)·(s - c)/s}.

Assim a área do triângulo ABC é

ra/2 + rb/2 + rc/2 = rs = √{s·(s - a)·(s - b)·(s - c)} ,

que é a fórmula de Heron.

Bonita prova!!!

Obs.: O que enncontra-se na forma [...] foi escrito por nós.

Matemática versus kg do Feijão

São poucos aqueles brasileiros que não sentiram a alta do preço no quilo de feijão nestes últimos meses. Mas de vez em quando encontramos promoções (em supermercados, mercadinhos, mercados municipais, etc) deste produto. O que não podemos é deixar de aproveitá-las!!!
O problema é que nem todo mundo sabe ou consegue aproveitar uma determinada promoção. Isso se deve por várias razões: falta de dinheiro; não consegue fazer uso da matemática; não conhece o mínimo possível de matemática; etc.

A idéia deste 'post' é apresentar uma aplicação de funções a este tipo de problema do nosso dia-dia.

» Promoção: A banca do seu Pedro localizada no Mercado Municipal de São Paulo-SP está com a seguinte promoção: um desconto de 10% é dado nas compras de 3 quilos ou mais de feijão. Além disso, sabe-se que o preço do quilo de feijão é de R$ 4,00.

» Problema 1: Suponha que você possui R$ 11,00 e quer gastar essa quantia na compra de feijão na banca do seu Pedro. Além disso, podemos supor, naturalmente, que você quer levar para casa o máximo possível de feijão. Com base nessas informações, sua pergunta natural é: quantos quilos de feijão posso comprar com R$ 11,00?

» Problema 2 (Mais Geral): Quais consumidores poderiam ter comprado mais feijão pagando o mesmo preço?

» Solução: A primeira pergunta a ser respondida é "qual o valor a ser pago por 3 kg de feijão?". Como tem-se um desconto de 10% para compras de 3 ou mais quilos, segue que o valor a ser pago é igual a 4 x 3 - 10%(4 x 3) = 12 - 1,2 = 10,8 , ou seja , por 3 kg de feijão paga-se R$ 10,80. Então, com R$ 11,00 você compraria um pouco mais de 3 kg [~3,06 kg] de feijão.

Alguém pode se perguntar como encontrar o número 3,06. Para isso, daremos uma expressão para a função que representa o total pago em função da quantidade comprada:

se x representa a quantidade (em kg) de feijão e y o valor a ser pago por esta quantidade, então:

• para x є [0 , 3[ tem-se que y = 4x;
  
• para x ≥ 3 tem-se que y = 4x - 10% 4x = 3,6x .
  

Assim, para os R$ 11,00 temos

• 11 = 4x => x = 2,750
• 11 = 3,6x => x = 3,057

ou seja, com R$ 11,00 você pode comprar 2,750 kg ou 3,057 kg de feijão.

Com base no gráfico abaixo responda ao Problema 2.

Até a próxima!!!

Função quadrática com coeficentes ímpares

Esta semana que passou-se estava preparando uma lista de exercícios para um aluno e me deparei com um problema curioso e assim resolvi dividí-lo com vocês. O problema diz que as raízes de uma função quadrática (ou de 2º grau, como muitos chamam!) com coeficientes ímpares, não podem ser números racionais. Porém, quando estava resolvendo-o percebi que poderia enunciá-lo de uma forma diferente e obter uma informação adicional.

» Problema: Considere a função quadrática f(x) = ax² + bx + c, onde a , b e c são números inteiros ímpares. Seja r um zero da função f, ou seja, f(r) = 0. Então:

• se r é um número real, então r é irracional;
• se r é um número complexo (r = m + ni, com m e n reais), então a parte imaginária de r, denotada por Im(r), é irracional.

» Solução: Antes de darmos início de fato a solução, relembremos alguns fatos "básicos" de aritmética dos números inteiros:

1. se n é um número inteiro ímpar, então n² é um inteiro ímpar. Reciprocamente, se n² é ímpar, então n é ímpar;
2. o produtos de números ímpares tem como resultado um número ímpar;
   
3. o produto de dois inteiros consecutivos é sempre um número par.
4. a soma de um número ímpar com um número par tem como resultado um número ímpar.

Assim, pela propriedade 2, ac é um número ímpar. Além disso, como b é ímpar podemos escrevê-lo na forma b = 2k + 1, onde k é um número inteiro. Logo,

Δ = b² - 4ac
Δ = (2k + 1)² - 4ac
Δ = 4k² + 4k + 1 - 4ac
Δ = 4(k² + k - ac) + 1

Pela propriedade 3 acima, temos que k² + k = k(k + 1) é um número par, qualquer que seja o valor de k. Logo, agora pela propriedade 4, k² + k - ac é um número ímpar. Isto mostra, em particular, que Δ é diferente de 1. Além disso, escrevendo Δ = 4p + 1 (somente para facilitar a escrita!), onde p = k² + k - ac , podemos observar que Δ não é um quadrado perfeito, ou seja, não existe nenhum inteiro s de forma que s² = Δ. De fato, se existisse um inteiro s tal que 4p + 1 = s² teríamos necessariamente (pela recíproca da propriedade 1) que s seria ímpar. Assim poderíamos escrevê-lo na forma s = 2q + 1, onde q é um inteiro. Portanto

4p + 1 = s²
4p + 1 = (2q + 1)²
4p + 1 = 4q² + 4q + 1
4p = 4(q² + q)
p = q² + q
p = q(q + 1)

Mas a igualdade acima não pode acontecer, pois p é um número ímpar e q(q+1) é um número par, qualquer que seja o valor de q. E tal absurdo se dá ao supor que Δ é um quadrado perfeito.

Agora basta usar a fórmula de Bhaskara para concluir a solução! (exercício) Fica também como exercício para o leitor verificar as propriedades 1, 2, 3 e 4. Além disso, você pode tentar resolver o problema usando as relações de Girard*. Para isso, tente primeiro supondo que a = 1.

Postem suas dúvidas, comentários, soluções, etc. Até a próxima!

*r + r' = -b/a e r . r' = c/a

Números Complexos - Parte II

Como observado no 'post' anterior sobre este tema, foram Gaus e Hamilton quem propuseram a idéia de representar números complexos como pares ordenados. Por exemplo, o número complexo -2 + 8i é representado por (-2,8). Já os números (complexos) -3i e 7 são representados, respectivamente, por (0,-3) e (7,0).

Define-se a igualdade de números complexos como

a + bi = c + di <=> a = c e b = d

Na representação em pares ordenados para a igualdade acima, temos

(a,b) = (c,d) <=> a = c e b = d.

A soma e o produto de números complexos são definidos por

(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

(a,b) . (c,d) = (ac - bd, ad + bc) ,

respectivamente. Estas definições cumprem as propriedades básicas de comutatividade, associatividade e distributividade (exercício!). Além disso, o número complexo (0,0) é o elemento neutro para a soma [(a,b) + (0,0) = (a,b) = (0,0) + (a,b)] e o número complexo (1,0) é elemento identidade para o produto [(a,b) . (1,0) = (a,b) = (1,0) . (a,b)].

Todo número complexo (a,b) tem um oposto¹, que é (-a,-b), e um inverso² [exceto o número(0,0)] que é

(a/(a² + b²) , -b/(a² + b²)).

No próximo 'post' sobre números complexos, indicaremos como "olhar" para este conjunto como uma extensão do conjunto dos números reais.

Exercício 1: Verifique as propiedades das operações de soma e produto.

Exercício 2: Verique as afirmações sobre o oposto e o inverso de um número complexo.

¹Oposto: y é (um) oposto de x se x + y = 0 = y + x .

²Inverso: y é (um) inverso de x se x.y = 1 = y.x .

OBS: Uma cópia deste post em http://morfismo.wordpress.com

Números Complexos - Parte I

Iniciaremos hoje uma série de 'posts' que abordará um pouco sobre o conjunto dos números complexos, assim como um 'bit' de sua história.

As equações do tipo x² + m = 0, com m > 0, não tem solução no conjunto dos números reais (IR), isto é, não existe nenhum número real que elevado ao quadrado e somado a uma quantidade positiva seja igual a zero. Em particular, a equação x² + 1 = 0 * não tem solução em IR. No século XVI, para se obter uma solução desta equação, introduziu-se o símbolo, denotado (por Eüler) pela letra i e tal que i ² = -1. Assim, a equação * pôde ser resolvida da seguinte forma:

0 = x² + 1 = x² - i ² = (x - i).(x + i)

ou seja, os símbolos - i e i seriam as soluções da equação *.

Expressões da forma 2 + 3i, 5i, ... denomiraram-se números complexos.

Foram Gauss e Hamilton quem propuseram a idéia de definir estes números como pares ordenados. Assunto a ser tratado no post "Números Complexos - Parte II".

Sobre Funções

Uma frase freqüente em livros (didáticos) de matemática é "seja f(x) uma função ...". É importante ressaltar que f(x) é a imagem do elemento x pela função f, ou valor assumido pela função f no ponto x. Não dá para negar que algumas vezes essa linguagem imprecisa torna a comunicação mais rápida e assim fica difícil resistir à tentação de usá-la. Mas é indispensável a cada momento ter a noção precisa do que se está fazendo. Por exemplo, quando se trata de uma função polinomial, o bom-senso nos leva a dizer

"a função x² + x + 1"

em vez da forma correta e mais pedante "a função p: R -> R tal que

p(x) = x² + x + 1

para todo x real".

Devemos ter cuidado com aquilo que escrevemos e com aquilo que lemos!

Axioma

sen(a+b) = sen a · cos b + sen b · cos a

A idéia deste segundo 'rascunho' é apresentar uma segunda maneira de deduzir fórmulas do tipo:

sen(a+b) = sen a · cos b + sen b · cos a

No primeiro 'rascunho', usamos o conceito de distância entre dois pontos (num certo sistema de coordenadas) e a definição das funções seno e cosseno no círculo de raio 1. Para o que segue, usaremos a definição do seno e do cosseno (de um ângulo) em um triângulo retângulo, e fórmula(s) para o cálculo da área de um triângulo qualquer.

:: 2ª Maneira ::

Considere o triângulo abaixo:

Sabe-se que área deste triângulo é dada por

{#} S = [z · w · sen(a+b)]/2 .

Além disso, esta mesma área também pode ser calulada por

S = (base · altura)/2

considerando a base como sendo o lado oposto ao ângulo 'a+b'. Assim, temos que

{##} S = [(x + y) · 1]/2 = (x + y)/2 .

Igualando {#} e {##}, chegamos a

[z · w · sen(a+b)]/2 = (x + y)/2

z · w · sen(a+b) = x + y

sen(a+b) = [x + y]/(z · w).

Agora, resta-nos "relacionar" as váriáveis x, y, z e w com os valores que as funções seno e cosseno assumem nos ângulos 'a' e 'b'.

|| sen a = y/w || sen b = x/z || cos a = 1/w || cos b = 1/z ||

Assim,

sen(a+b) = [x + y]/(z · w) = [x/(z · w)] + [y/(z · w)] =

[(x/z) · (1/w)] + [(1/z) · (y/w)] = [sen b · cos a] + [cos b · sen a].

E, portanto, reajustanto a última expressão teremos a igualdade desejada

sen(a+b) = sen a · cos b + sen b · cos a.

Nesta última igualdade, se trocarmos 'b' por '-b', e usarmos os fatos de cos(-b) = cos b e sen(-b) = - sen b, teremos que

sen(a - b) = sen a · cos b - sen b · cos a.

Há uma outra forma mais 'onesta' de se mostrar isto. Para tanto, pode-se utilizar a figura abaixo:

E é um bom exercício verificar tal igualdade, o qual deixaremos para o leitor!

Bibliografia

Para os dois 'rascunhos', utilizamos o livro Trigonometria Números Complexos, de autoria de Manfredo P. do Carmo, Augusto C. Morgado e Eduardo Wagner, com notas históricas de João Bosco P. de Carvalho.

cos(a - b) = cos a · cos b + sen a · sen b

A idéia deste e do próximo 'rascunho' é apresentar duas maneiras distintas de se deduzir fórmulas do tipo:

cos(a - b) = cos a · cos b + sen a · sen b

Em outras palavras: deduziremos fórmulas que calculam as funções trigonométricas da soma e da diferença de dois arcos cujas funções são conhecidas.

:: 1ª Maneira ::

Antes de mais nada, lembremos que a distância entre dois pontos do plano (x,y) e (z,w) é dada por

d² = (x - z)² + (y - w)².

Consideremos então no círculo de raio 1 os pontos P e Q (figura 1.) tais que:

i) medida do arco AP = a
ii) medida do arco AQ = b

Figura 1.

Como P = (cos a, sen a) e Q = (cos b, sen b), a distância d entre os pontos P e Q é dada por

d² = (cos a - cos b)² + (sen a - sen b)² =

cos²a - 2cos a · cos b + cos²b + sen²a - 2sen a · sen b + sen²b =

cos²a + sen²a + cos²b + sen²b - 2(cos a · cos b + sen a · sen b) =

1 + 1 - 2(cos a · cos b + sen a · sen b) =

2 - 2(cos a · cos b + sen a · sen b).

Mudemos agora nosso sistema de coordenadas girando os eixos de um ângulo b em torno da origem (figura 2.)

Figura 2.

Neste novo sistema de coordenadas, o ponto Q tem coordendas 1 e 0, ou seja, Q = (1,0). Além disso, o ponto P tem coordenadas cos(a - b) e sen(a - b), isto é, P = (cos(a-b), sen(a-b)). Calculando novamente a distância entre os pontos P e Q, obtemos

d² = [1 - cos(a - b)]² + [0 - sen(a - b)]² =

1 - 2cos(a - b) + [cos²(a - b) + sen²(a - b)] =

2 - 2cos(a - b).

Igualando os valores de d², obtemos

2 - 2(cos a · cos b + sen a · sen b) = 2 - 2cos(a - b),

ou seja,

(I) cos(a - b) = cos a · cos b + sen a · sen b.

Trocando 'b' por '-b' e usando o fato de cos(-b) = cos b e sen(-b) = - sen b, na igualdade acima, obtemos

(II) cos(a + b) = cos a · cos b - sen a · sen b.

Exercícios

1) A partir das duas igualdades acima - (I) e (II) -, deduza que:
a) sen(a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
b) sen(a - b) = sen a · cos b - sen b · cos a

2) Usando (I) e (II), a igualdade tg x = (sen x)/(cos x) e o exercício 1), deduza que tg(a - b) = (tg a - tg b)/(1 + tg a · tg b) e tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 - tg a · tg b).

PS.: Coloque sua(s) solução(ões) em 'comentários'.

Trigonometria - Máximo de Funções

Abordaremos neste post o estudo do máximo de funções reais do tipo

f: R --> R definida por f(x) := msen(x) + ncos(x),

com m e n sendo constantes reais e não ambas nulas.

Queremos encontrar o valor máximo que a função f assume. Veremos que tal valor depende somente de m e n.

Para tanto, considere r = √(m² + n²). Assim, r é diferente de zero e podemos escrever

f(x) = r(m/r) sen(x) + r(n/r) cos(x).

Mas dado que (m/r)² + (n/r)² = 1, temos que existe α real tal que cos(α) = m/r e sen(α) = n/r. Donde segue-se que

f(x) = r[cos(α) sen(x) + sen(α) cos(x)] = r sen(x + α).

Sabemos que a função seno tem 1 como valor máximo. Portanto, f(x) ≤ r = √(m² + n²), para todo x real. Isto mostra nossa tese!

Exercícios

1) Ache os valores de máximo e de mínimo atingidos por cada uma das funções abaixo:

(a) f(x) = sen(x) + cos(x)

(b) g(x) = 2sen(x) - 3cos(x)

2) Para cada um dos valores obtidos acima, encontre o valor de x de forma que a imagem de x (pela função) seja máximo.

3) Para cada um dos valores obtidos em 1), encontre o valor de x de forma que a imagem de x (pela função) seja mínimo.

Soluções do livro "Construções Geométricas"...

O prof. Sergio L. Neto, da UFRJ, organizou um material contendo soluções para os problemas do livro "Construções Geométricas - Eduardo Wagner, com colaboração de José Paulo Q. Carneiro".

O livro é uma ótima referência para professores de desenho geométrico e para estudantes de graduação em Matemática.

Confira aqui o "manual de soluções".

PS.: Parabéns professor Sergio!

Livros Online

Na página do Professor Robert B. Ash, da Universidade de Illinois, há os seguintes livros (em inglês): Álgebra Abstrata, Teoria Algébrica dos Números, Álgebra Comutativa e Variáveis Complexas. Além de umas notas de Estatística. (Todos com soluções para os problemas propostos!)

Dentre os livros acima, conheço "Álg. Abstrata", "Álg. Comutativa" e "Variáveis Complexas", pois fiz uso destes em pelo menos três cursos de minha pós-graduação.

Caso seja do seu interesse, confira aqui a página do prof. Ash!

PS.: No site do Professor George Cain's Place você encontra, além desses, uma lista com pelo menos 60 livros (todos em inglês!) gratuitos. ¨