The Lines Number

O número 40337956 é chamado de "The Lines Number" e foi descoberto, em dezembro de 2005, pelo professor Glenn T. Lines da Universidade de Olso (Noroega). Glenn descobriu a seguinte propriedade (aparentemente inútil!):

4⁰ - 3³ + 7⁹ - 5⁶ = 40 33 79 56

Além disso, ele provou que este é o único número (inteiro positivo) com esta propriedade.

Pode parecer inútil, mas é bastante curioso!!!

Impossível

Esta simpática e "impossível" charge é de Montt en Dosis Diaria, blog do chileno Alberto Montt, aonde se publica charges (vinhetas!) de humor, usualmente sobre natureza, ciência e religião.

Selos de Objetos Impossíveis

Coleção de selos sobre neurociências de Eric H. Chudler incluindo alguns selos de objetos impossíveis. Os três selos da parte superior são selos da Suécia, e os dois de baixo são de Israel e Áustria, respectivamente.

Divisão Curiosa

3300 / 0,123 = 26829, 26829 26829 26829…

Também, tem-se que

2988 / 11111 = 0, 26892 26892 …

Observe que 26892 fica ainda igual se girado 180º!

ISBN - Parte I

.: Introdução :.

Suponha que você trabalha numa grande livraria onde tem que expedir por correio centenas de livros encomendados por dia. No tempo dos pré-leitores ópticos, você seria obrigado(a) a digitar para cada livro em questão um longo número, talvez com 10 algarismos, que identificará o tal livro. E tem de fazê-lo depressa!

Escrever diariamente centenas de números com 10 algarismos sem qualquer padrão aparente leva inevitavelmente a que o operador, mais tarde ou mais cedo, se engane a escrever um dos números. E as conseqüências podem ser bastantes desagradáveis: expedir o livro de <<Cálculo>> para Curitiba, em vez de um <<Receitas Vegetarianas>>. Os custos para corrigir estes erros a posteriori podem, evidentemente, ser muito elevados.

Coloca-se então o seguinte problema: quando se lida sistematicamente com grandes quantidades de números compridos, em que mais tarde ou mais cedo se verificarão erros, há que identificar quais são os erros mais freqüentes e encontrar uma forma automática de detectar, logo que o número é escrito. se possui erros ou não.

A resposta à primeira questão é do domínio de estatística; sabe-se hoje que mais de 90% dos erros ocorridos na transmissão de dados numéricos são de dois tipos: erros singulares (alteração de um único algarismo, o que lavaria, por exemplo, 2357 a ser escrito com 2358) ou transposições (troca de pares de algarismos adjacentes, como na passagem de 2357 a 2375).

O segundo passo é conceder um algoritmo que detecte, com 100% de eficiência, a presença ou ausência destes erros. Se o conseguirmos teremos um mecanismo de detecção de erros com eficiência superior a 90%.

E é aqui que entra a matemática, por intermédio da teoria dos códigos. Existem muitos algoritmos de detecção de erros, com aplicação tecnológica num número <<infinito>> de indústrias, baseados na aritmética modular, proveniente da teoria dos números. A idéia é a seguinte: ao número básico em questão acrescenta-se um algarismo suplementar, o algarismo (ou dígito) de controle (ou verificador). Realizando uma operação adequada sobre o número original, devemos obter o algarismo de controle. Se isso não acontecer, é porque ocorreu algum erros na escrita do número original.

A idéia de implementar sistemas de identificação com dígitos detectores de erros encontra aplicações quase <<infinitas>> na indústria. É utilizada hoje nos cartões de crédito, nos cheques, na correspondência postal, nos códigos de barras, nos livros (ISBN), etc. Estes sistemas funcionam com variações de pormenor.

No nosso próximo post, daremos uma idéia do funcionamento destes sistemas de identificação, tomando como exemplo o ISBN (International Standard Book Number), utilizado na indústria de livros.

"Texto" extraído do ISBN: 972-662-792-3

1 ÷ 243

1 dividido por 243 é igual a 0,004115226337448559... uma série decimal que repete os números 0, 1 , 2, 3, 4 e 5 separados pelos dígitos 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Tal curiosidade é devida ao físico Richard Feynman.

Criptograma do FBI

Se conseguir resolver este 'criptograma', talvez algum dia você consiga trabalhar para o FBI (Federal Bureau of Investigation)!

Código publicado na página do FBI como divertimento para os visitantes. Além disso, há também alguns sites interessantes sobra a história da criptografia, dos códigos e do FBI.

"Primo" = 71 é um número primo

Aproveitando a curiosidade sobre a palavra "GOOGLE", não podíamos deixar de fora a própria palavra "PRIMO".

Atribuiremos valores as letras do alfabeto (estendido) e em seguida somamos os 'valores das letras' que aparecem na palavra "PRIMO".

Numeração

A = 1, B = 2, ..., I = 9, J = 10, K = 11, L = 12, M = 13, N = 14, O = 15, P = 16, Q = 17, R = 18, ..., Z = 26

Soma
16 + 18 + 9 + 13 + 15 = 71 , que é um número primo.

Obs.: O alfabeto não precisa ser o 'estendido', pois a soma neste caso seria 67 (verifique isso!), que também é um número primo.

Outra coisinha... a palavra "PRIME" (Primo em inglês) também forma é número primo com a numarção acima. [Verifique que PRIME = 61].

E se a numeração fosse

A = 2, B = 3, C = 5, D = 7, E = 11, F = 13, G = 17, H = 19, I = 23, J = 29, K = 31, ...

será que a palavra "PRIMO" (ou "PRIME") formaria ainda um número primo?

PS.: Este é o nosso post de número 59, que também é um número primo... Ufa!!! Tantos 'primos'...

"GOOGLE" é Primo

Você sabia que o número equivalente a palavra GOOGLE girada de 180º, isto é, o 379009 é um número primo?

Provavelmente é uma coincidência, mas não deixa de ser curioso!

Fonte: Galeria de Ambigramas

Curiosidade Inútil

Você sabia que...

... em alguns idiomas (europeus) a palavra NOITE é formada pela letra 'N' + o número 8...

Veja alguns exemplos:

Português: noite = n + oito
Inglês: night = n + eight
Alemão: nacht = n + acht
Espanhol: noche = n + ocho
Francês: nuit = n + huit
Italiano: notte = n + otto

Fatorando o Tempo

Fator Clock: o relógio que decompõe o tempo em fatores primos

O relógio Factor Clock elimina os separadores entre horas, minutos e segundos (10:18:27 = 101 827) e fatora este número como o produto de fatores primos. No nosso exemplo, 10:18:27 = 11 x 9257. A idéia foi inspirada na genial tira cômica xkcd.

A página do relógio oferece opções para personalizar a hora, além de uma lista contendo todas as horas do dia que são números primos (clique aqui). Por exemplo, nesta lista você pode verificar que 23:59:19 é a última "hora prima" do dia, das 7669 existentes.

Já no site da Apple, você pode encontrar o XKCD Time Factorisation, que é uma versão do relógio para o Mac OS X.

Divirtam-se!!!

Triângulo de Ouro

Acho que a maioria de vocês já devem ter ouvido falar do número de ouro (ou número áureo, ou proporção áurea) - aqui mesmo já colocamos um vídeo sobre o assunto (Arte & Matemática - Número de Ouro). Há muitos fatos curiosos que envlovem tal número, como por exemplo a natureza do crescimento: pode ser encontrado na proporção em conchas, seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), até na relação dos machos e fêmeas de qualquer colméia do mundo, e em inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento. Mas com tanta aparição na natureza, não podia ficar de fora da própria matemática! O fato é que 'em num triângulo retângulo cujo os lados estão em P.G., tem-se necessariamente que a razão - desta P.G. - ao quadrado é igual ao número de ouro'.

Para verificar isso, considere o triângulo retângulo abaixo, onde 'q' é a razão da P.G.

Pelo teorema de Pitágoras, temos que

(x/q)² + x² = (x·q)²
x²/q² + x² = x²·q²

(x² + x²·q²) = x²·q²·q²

x²(1 + q²) = x²·(q²)²

1 + q² = (q²)²

(q²)² - q² - 1 = 0

Resolvendo a equação acima (por Bháskara), em q², obtemos q² = (1 + √5)/2 ou q² = -(√5 - 1)/2. Donde segue que q² = (1 + √5)/2, que é o número de ouro.

Mostramos que o quadrado da razão da P.G. - que envolve os lados de um triângulo retângulo - é igual ao número de ouro.

Primos do Pi ou Pi - Primos

Um pi-primo é um número primo que aparece na expansão decimal de π em sua ordem natural (ignorando a vírgula!). Por exemplo 3 é primo, 31 também e o mesmo acontece com 314159, que são os seis primeiros dígitos de π.

Também 31415926535897932384626433832795028841 é um número pi-primo com 38 dígitos.

Os primeiros 16.208, 47.577 e 78.073 dígitos de π também forman um número primo, como calculou Eric W. Weisstein em 2006. Além disso, Weisstein também mostrou que o último π-primo tem 79.718 dígitos, ou seja, não há nenhum π-primo com mais de 79.718 dígitos.

Já tem gente procurando e-primos, isto é, números primos que aparecem na expansão decimal do número de Euler, denotado por 'e'. Por exemplo, 2718281 é um e-primo.

Fonte: MathWorld

Matemática Complicada

Clique sobre a imagem para ampliar!

Quem NÃO sabia que?

Quem NÃO sabia que o quadrado de um número inteiro não pode terminar em mais de três algarismos iguais a 4?

Exemplos de inteiros cujo quadrado termina em três 4's:

• 38² = 1.444
• 462² = 213.444
• 538² = 289.444
• 962² = 925.444

Uma Prova: Suponha que exista um número (inteiro) n tal que seu quadrado termina em quatro 4's. Assim, n² - 4.444 é divisível por 10.000. Por outro lado, 10.000 = 16x625, ou seja, 10.000 é divisível por 16. Logo n² - 4.444 também é divisível por 16. Além disso, 4.444 = 16x277 + 12. Portanto,

n² - (16x277 + 12) = 16k => n² - 12 = 16(k+16x277) ,

ou seja, n² - 12 também é divisível por 16, isto é,

n² = 16q + 12 = 4(4q + 3).

Podemos concluir daí que 4q + 3 é um quadrado perfeito (pois n é inteiro!), ou seja, 4q + 3 = r², para algum inteiro r. Mas como 4q + 3 é ímpar, tem-se claramente que r também é ímpar (r = 2s + 1) e assim

4q + 3 = r² = 4s² + 4s + 1 =>
4(s² + s - q) = 2,

o que é um absurdo em Z. E o absurdo está em supor que n² termina em quatro 4's.

Exercício [Uma outra Prova - direta]

(a) Mostre que o quadrado de um número inteiro n termina em três algarismos iguais a 4 se e só se n puder ser colocado na forma 500k ± 38, onde k é um inteiro.

(b) Usando o item (a), mostre que se o quadrado de um número inteiro n termina em três algarismos iguais a 4, o algarismo da unidade de milhar de n² é necessariamente ímpar.

(c) Conclua que o quadrado de um número inteiro não pode terminar em mais de três algarismos iguais a 4.

PS.: Coloque sua(s) solução(ões) em comentários!

A desonestidade de um Garçom

Muitos de vocês ja devem ter ouvido falar em "A desonestidade de um garçom":

Três pessoas almoçaram em um restaurante e cada uma entregou ao garçom uma nota de R$ 10,00, perfazendo um total de R$ 30,00 , para pagar a conta. O garçom entregou o dinheiro ao caixa, que devolveu R$ 5,00, pois a conta era de R$ 25,00. Como os clientes não sabiam o valor da conta, o garçom resolveu enganá-los. Embolsou R$ 2,00 e entregou R$ 1,00 de troco para cada cliente. Assim, cada cliente pagou R$ 9,00 num total de R$ 27,00, que somados aos R$ 2,00 que ficaram com o garçom dão um total de R$ 29,00.

Como explicar o misterioso sumiço de R$ 1,00?

Número do seu Sapato X Comprimeto do seu Pé

A regra

f (n) = (5n + 28)/4

dá o número do sapato, f (n), de uma pessoa em função do comprimento (em centímetros), n , de seu pé. Por exemplo, se seu pé mede 25 cm, então o número do "seu sapato" é f (25) = (5 x 25 + 28)/4 = (125 + 28)/4 = 153/4 , que é aproximadamente igual a 38,22. Neste caso, o número do seu sapato é 38.

Por outro lado,

g(m) = (4m - 28)/5

dá o comprimento (em centímetros) aproximado do seu pé em função do número m do seu sapato. Por exemplo, uma pessoa que calça 39, tem um pé que mede, aproximadamente, 25,6 cm, pois

g(39) = (4 x 39 - 28)/5 = (156 - 28)/5 = 128/5 = 25,6.

Voltaremos a falar sobre o assunto...

Fonte: A Matemática do Ens. Médio, Vol. 1
Elon L. Lima
Paulo C. P. Carvalho
Eduardo Wagner
Augusto C. Morgado