Como resolver problemas matemáticos

Encontrei um "artigo" interessante sobre o livro 'Como resolver problemas matemáticos - Uma perspectiva pessoal - Terence Tao'. Veja um trecho:

"(...) Numa entrevista que deu em 2006, Tao afirmou: “Quando eu era criança, tinha uma ideia romântica da Matemática, a ideia de que os problemas difíceis eram resolvidos em momentos ‘Eureka’ de inspiração.” Depois, acrescentou: “Hoje, comigo, é sempre assim: ‘Vamos tentar esta ideia. Isso leva-me a algum progresso, ou então não funciona. Agora tentemos aquilo. Oh, há aqui um pequeno atalho.’ Trabalhamos durante tempo suficiente e, a certa altura, conseguimos progredir num problema difícil entrando pela porta das traseiras. No final, o que normalmente acontece é: ‘Olha, resolvi o problema.’” É este tipo de atitude e de estratégia que está presente logo no primeiro capítulo do livro.

Os problemas que Tao analisa ao longo desta obra são do tipo dos que se encontram nas Olimpíadas de Matemática: são elementares no que se refere ao nível dos conhecimentos matemáticos necessários, mas exigem reflexão e engenho para a sua resolução. Com grande clareza, Tao explica como resolver os problemas seleccionados, discute estratégias, exemplifica truques comuns. Depois inclui, como exercícios, problemas que o leitor pode e deve experimentar por si mesmo.

O público para um livro destes é formado por quaisquer pessoas, em particular jovens, que gostem de Matemática e estejam dispostas a fazer algum esforço mental. Essas pessoas achá-lo-ão interessante, útil e formativo.

Esqueça o leitor que o autor deste livro tinha 15 anos quando o escreveu. A idade não é importante para a Matemática. Esqueça também tudo o que sabe sobre o passado de “criança-prodígio” do autor. Os raciocínios podem ser os os mesmos para todos. Concentre-se apenas na Matemática. (...)"

Link para o artigo completo (vale a pena!!!).

Matemática: Carreira

Pensa em fazer um curso de Matemática e ainda tem dúvidas? No portal G1 há quatro boas reportagens sobre a carreira de um matemático. Abaixo segue os links!

Lembre-se: Um futuro estudante de Matemática deve, em primeiro lugar, gostar de Matemática. O gosto por desafios, a capacidade de concentração, a tenacidade e o fato de achar a Matemática divertida são claros sinais de que este curso é para você!

• Cenário é promissor para quem quer estudar matemática
• Pesquisa brasileira tem destaque internacional
• Resolução de problemas é desafio para matemáticos
• 'Na universidade há liberdade de pensamento', diz matemático
  

Matemática versus kg do Feijão

São poucos aqueles brasileiros que não sentiram a alta do preço no quilo de feijão nestes últimos meses. Mas de vez em quando encontramos promoções (em supermercados, mercadinhos, mercados municipais, etc) deste produto. O que não podemos é deixar de aproveitá-las!!!
O problema é que nem todo mundo sabe ou consegue aproveitar uma determinada promoção. Isso se deve por várias razões: falta de dinheiro; não consegue fazer uso da matemática; não conhece o mínimo possível de matemática; etc.

A idéia deste 'post' é apresentar uma aplicação de funções a este tipo de problema do nosso dia-dia.

» Promoção: A banca do seu Pedro localizada no Mercado Municipal de São Paulo-SP está com a seguinte promoção: um desconto de 10% é dado nas compras de 3 quilos ou mais de feijão. Além disso, sabe-se que o preço do quilo de feijão é de R$ 4,00.

» Problema 1: Suponha que você possui R$ 11,00 e quer gastar essa quantia na compra de feijão na banca do seu Pedro. Além disso, podemos supor, naturalmente, que você quer levar para casa o máximo possível de feijão. Com base nessas informações, sua pergunta natural é: quantos quilos de feijão posso comprar com R$ 11,00?

» Problema 2 (Mais Geral): Quais consumidores poderiam ter comprado mais feijão pagando o mesmo preço?

» Solução: A primeira pergunta a ser respondida é "qual o valor a ser pago por 3 kg de feijão?". Como tem-se um desconto de 10% para compras de 3 ou mais quilos, segue que o valor a ser pago é igual a 4 x 3 - 10%(4 x 3) = 12 - 1,2 = 10,8 , ou seja , por 3 kg de feijão paga-se R$ 10,80. Então, com R$ 11,00 você compraria um pouco mais de 3 kg [~3,06 kg] de feijão.

Alguém pode se perguntar como encontrar o número 3,06. Para isso, daremos uma expressão para a função que representa o total pago em função da quantidade comprada:

se x representa a quantidade (em kg) de feijão e y o valor a ser pago por esta quantidade, então:

• para x є [0 , 3[ tem-se que y = 4x;
  
• para x ≥ 3 tem-se que y = 4x - 10% 4x = 3,6x .
  

Assim, para os R$ 11,00 temos

• 11 = 4x => x = 2,750
• 11 = 3,6x => x = 3,057

ou seja, com R$ 11,00 você pode comprar 2,750 kg ou 3,057 kg de feijão.

Com base no gráfico abaixo responda ao Problema 2.

Até a próxima!!!

A Matemática por traz do PageRank

Com a criação deliberada de páginas na rede (um bom exemplo são os BLOGS), sabemos que a INTERNET de hoje é formada por muitos milhões de páginas. Você já parou para se perguntar se todas estas milhões de páginas têm o mesmo "valor" ? Em outras palavras: será que existe páginas "mais importantes" do que outras? É bem razoável que existam sim páginas mais importantes do que outras! E isto é de extrema relevância para os buscadores de páginas na INTERNET (Yahoo, Google, Alta Vista, Live Search, dentre outros) que procuram em páginas da rede um certo conjunto de termos (palavras) pré-definidos(as) pelo usuário. O fato é que na maior parte dos casos, o buscador verifica "apenas" as primeiras páginas que surgem como resultado de uma certa busca, ignorando as seguintes - que podem ser milhões. Surgindo assim mais uma pergunta: como o buscador pode nos garantir que as primeiras páginas (que aparcem numa determinada busca) são de fato as mais importantes? Em outros termos: será que as respostas dada pelo buscador corresponde ao que de fato estávamos procurando?

Uma solução para o problema acima foi apresenta pelo Google, que foi atribuir um valor numérico, chamado de PageRank, a cada uma das páginas da Internet, de acordo com a sua "importância". Assim, as primeiras páginas a serem apresentadas ao usuário como resultado de uma determinada busca serão aquelas com maior valor de PageRank.

Agora você de está se perguntando o que isto tem a ver com Matemática!
Um trabalho (de divulgação matemática) realizado por um aluno da Universidade do Porto, sob orientação da Professora Maria Carvalho, responde, além de outras, as seguintes perguntas:

• Como se define matematicamente o PageRank?
• De que forma é possível calcular o PageRank?
• Como podemos interpretar o conceito de Pageank em termos de probabilidades?

Neste trabalho, o aluno usa ferramentas do Cálculo Númerico, da Álgebra Linear (norma de matrizes), da Teoria de Probabilidades, e natuaralmente, um pouco de Modelagem Matemática, dentre outras ferramentas.

A fórmula original, dada pelos próprios fundadores do Google (Larry Page e Sergey Brin), para calcular o PageRank, é a seguinte:

onde

• P_j é uma página qualquer
  
• p é um parâmetro compreendido entre 0 e 1 (geralmente p = 0,85)
• PR(P_i) denota o valor do PageRank da página P_i
• j₁, j₂, ..., j_k são os índices das páginas que possuem um link para a página P_i
• PR(P_ji) denota o valor do PageRank dessa página, para cada i = 1, ..., k
• C(P_ji) denota o número de links que partem dessa página, para cada i = 1, ..., k

Uma observação IMPORTANTE: Além do PageRank, existem outros critérios baseados no conteúdo das páginas (tais como a localização dos termos pesquisados), que também são tidos em conta sempre que é efetuada uma busca no Google. No entanto, o PageRank continua a ser um dos principais critérios de ordenação e um dos responsáveis pelo sucesso alcançado por este motor de busca em particular.

Vale a pena dar uma conferida neste trabalho. E para isto, basta consultar o endereço abaixo:

Endereço: http://www.atractor.pt/mat/pagerank/index.htm

Quem Descobriu o Cálculo?

Estudo feito por pesquisadores de universidades britânicas afirma que origem do cálculo infinitesimal teria sido na Escola de Kerala, na Índia, mais de 200 anos antes dos trabalhos do inglês Isaac Newton (1643 - 1726) e do alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716).

Os cientistas George Gheverghese Joseph, da Universidade de Manchester, e Dennis Almeida, da Universidade de Exeter, afirmam que uma pouco conhecida escola na Índia teria sido o berço do cálculo infinitesimal. Matemáticos e astrônomos da Escola Kerala teriam identificado as séries infinitas por volta de 1350. Os indianos também teriam calculado a constante pi corretamente até 17 casas decimais.

A descoberta de Joseph ocorreu enquanto o matemático, que nasceu na cidade de Kerala, no sudoeste da Índia, visitou bibliotecas do país em busca de material para a terceira edição de seu livro "The crest of the peacock: the non-european roots of mathematics", que será publicado em breve pela Princeton University Press.

Um artigo sobre a transmissão do conhecimento a respeito do cálculo de Kerala para a Europa será publicado em breve por Joseph e Almeida.

Fonte: Agência Fapesp

15/08/2007

Fim de Jogo

Acabou. Depois de séculos, o jogo de damas, um dos mais populares jogos de tabuleiros, foi resolvido. Por resolvido entenda-se a criação de um programa de computador sofisticado o bastante para escolher sempre a jogada perfeita entre todas as possíveis. E são muitas: cerca de 500 quintilhões, ou cinco vezes dez elevado à vigésima potência.

Foram precisos quase 20 anos de trabalho para que o grupo liderado por Jonathan Schaeffer, da Universidade de Alberta em Edmonton, no Canadá, conseguisse solucionar o jogo cuja história remonta ao Egito de cerca de 5 mil anos atrás. Em 1989, Schaeffer criou o Chinook, que entrou para a história da inteligência artificial cinco anos depois ao se tornar o primeiro programa de computador a derrotar um campeão mundial.

Desde então, o desafio dos pesquisadores canadenses deixou de ser simplesmente criar um software imbatível, mas solucionar o jogo de damas de uma vez por todas. A resposta demorou, mas acaba de ser conseguida e está descrita em artigo na edição de 20 de julho da revista Science.

De acordo com os cientistas, se os dois lados sempre executarem jogadas perfeitas, não há outra possibilidade além do empate. Algo similar ao que ocorre com o muito mais simples jogo da velha.

“Tecnologias de inteligência artificial têm sido usadas para gerar poderosos programas de jogos baseados na heurística. Solucionar um jogo nos leva ao próximo nível, ao substituir a heurística pela perfeição”, descreveram os autores. Ou seja, a simples exatidão entra no lugar da tentativa, da descoberta e da experiência. Jogadas sempre perfeitas, fim de jogo. Resultado: empate. Mas a graça continua, pois nenhum humano é capaz de calcular todas as combinações possíveis – a menos que recorra ao Chinook.

Mas, para a ciência, o feito é notável. “Trata-se de uma tremenda conquista, um avanço verdadeiramente significativo em inteligência artificial”, disse Jaap van den Herik, editor do International Computer Games Journal.

“Acho que subimos o nível – e o subimos consideravelmente – em termos de o que pode ser conseguido com tecnologia de informática e inteligência artificial”, disse Schaeffer.

“Conseguimos pegar o conhecimento usado em aplicações de inteligência artificial e levar até o extremo de substituir a heurística compreensível pelos humanos com o conhecimento perfeito. Trata-se de uma demonstração impressionante das possibilidades que os softwares e hardwares são capazes de atingir”, afirmou o pesquisador, que se descreve como um “sofrível” jogador de damas.

Foram usados até 200 computadores por vez e 50 em média para calcular as combinações possíveis em cada situação de uma partida. Agora que o jogo foi solucionado, o programa não precisa mais “aprender” a partir de combinações e tentativas, uma vez que se tornou um banco de dados que sabe sempre o movimento certo em cada situação.

O Chinook só deixa de ganhar um jogo caso seu oponente também saiba sempre a jogada perfeita. Ou seja, teria que ser outra máquina rodando o mesmo programa. No caso, a partida terminaria empatada.

“Estou muito entusiasmado com a conquista. Solucionar o jogo de damas se tornou como que uma obsessão pessoal de quase duas décadas e é realmente uma satisfação ver a conclusão”, disse Schaeffer.

O cientista afirma que não tentará resolver o xadrez, cuja complexidade exigiria milhares de anos de processamento com os computadores atuais. O próximo desafio está nas cartas. O grupo de Schaeffer levará outro programa, o Polaris, para o campeonato mundial de pôquer Homem versus Máquina, que será realizado na semana que vem, no Texas, nos Estados Unidos.

O artigo Checkers is solved, de Jonathan Schaeffer e outros, pode ser lido por assinantes da Science em www.sciencemag.org.

Quem quiser jogar contra o Chinook pode acessar o endereço www.cs.ualberta.ca/~chinook/play.php.

Fonte: Agência FAPESP
20/07/2007

Mathematical Moments

Fiquei sabendo nesta última semana do programa "Mathematical Moments" da AMS (American Mathematical Society), que tem como objetivo promover a apreciação e a compreensão do papel que a matemática desempenha na ciência, natureza, tecnologia e cultura.

Segue abaixo um dos textos (traduzido*) que você pode encontrar no site do programa.

"Do Árabe ao Zulu

O ritmo actual de criação de documentos (na internet, por exemplo) é muito maior que a capacidade humana de tradução, o que torna os tradutores automáticos necessários. Estes usam probabilidade, estatística e teoria dos grafos em combinação com bases de dados de centenas de milhões de palavras e expressões em muitas línguas, de forma a conseguir boas traduções de forma eficiente. Assim a matemática, frequentemente chamada 'linguagem universal,' faz também a ponte entre os idiomas.

Uma vez traduzido um documento pode perguntar-se quão boa é a tradução. Uma medida numérica da qualidade da tradução ajuda a automatizar esta parte do processo, poupando tempo e dinheiro. Os resultados da avaliação melhoram os algoritmos de tradução, de forma a que o mito urbano da tradução computacional da frase em Inglês 'O espírito tem força mas a carne é fraca' para o Russo e de volta para Inglês como 'A vodka é boa mas o bife está podre' permaneça uma lenda."

(*) por Rogério Martins, Fábio Chalub e Isabel Natário, Dep. de Mathematica, Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa.