Uma Prova da Fórmula de Heron

Encontrei uma prova, bem interessante, da Fórmula de Heron usando a forma geométrica dos números complexos. A prova é de Miles Dillon Edwards do Lassiter High School (Marietta - GA 30066) e foi publicada no The American Mathematical Monthly (ed. Dez/2007 - pág. 937).


» Prova: Seja I o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC [ou seja, o incentro do triângulo ABC]. Seja a = y + z , b = x + z e c = x + y os comprimentos dos lados opostos aos vértices A, B e C, respectivamente. (veja figura abaixo)[Para verificar, por exemplo, que os triângulos de lados x, r e u são congruentes, use o fato de o incentro ser o encontro das bissetrizes do triângulo ABC e que cada um desses triângulos possuir um ângulo reto - pontos de tangência do segmento de reta que liga o centro da circunferência ao respectivo lado.]

Tome s = x + y + z como sendo o semi perímetro do triângulo ABC. Claramente 2α + 2β + 2φ = 2π e, portanto, α + β + φ = π . Agora note que

(r + ix)·(r + iy)·(r + iz) = {u·exp(iα)} · {v·exp(iβ)} · {w·exp(iφ)}
= uvw·exp(iα + iβ + iφ) = uvw·exp(iπ) = - uvw .

Portanto,

0 = Im{(r + ix)·(r + iy)·(r + iz)} = r² (x + y + z) - xyz,

e então

r = √{(xyz)/(x + y + x)} = √{(s - a)·(s - b)·(s - c)/s}.

Assim a área do triângulo ABC é

ra/2 + rb/2 + rc/2 = rs = √{s·(s - a)·(s - b)·(s - c)} ,

que é a fórmula de Heron.

Bonita prova!!!

Obs.: O que enncontra-se na forma [...] foi escrito por nós.