sábado, 10 de novembro de 2007

PA x TP :: Exemplos ::

Nosso enfoque de hoje é motivar o leitor através de alguns exemplos e fazer perguntas a serem respondidas nos próximos posts.

:: Exemplos de PA ::

(i) Considere a PA 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., n, ... de razão r = 1 e com a0 = 3.

Qualquer terno pitagórico pertence a esta PA, ou seja, se (a , b , c) é um TP, então existem i , j , m de forma que a = ai, b = aj e c = am (isto porque não existe TP com um dos termos sendo 1 ou 2 - prove isto!). Como queremos encontrar TP's em PA's e neste caso todo TP são três termos desta PA, então não temos muito o que estudar neste tipo de sequência. E isto acontecerá sempre que a razão da PA for igual a 1.

Tendo em vista as observações acima a cerca do nosso primeiro exemplo, toda PA daqui pra frente - além de crescente com todos os termos sendo inteiros positivos - terá as seguintes propriedades:
  • a0 > 2

  • r > 1
(ii) 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , ... , 51 , ... é uma PA de razão r = 2 e com a0 = 3. Existe algum TP nesta sequência?

Não! Sem fazer muita conta, chegaremos a esta conclusão. Para isto, observe que qualquer termo dessa PA é um número ímpar e que o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar. Porém a soma de dois números ímpares é um número par.

Então, com um raciocínio análogo, verifica-se que se um PA é tal que algum dos seus termos é um número ímpar e a razão é um número par, então nesta PA não há ternos pitagóricos.

Com os dois exemplos acima, verificamos que há PA's onde todos os que existem são termos desta PA (primeiro exemplo) e há outras onde não possuem nenhum TP.

(iii) Considere a PA 3, 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , ... , onde a0 = 3 e r = 3. Neste caso, 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15², ou seja, (9 , 12 , 15) é um TP. Por outro lado, 3² + 6² = 9 + 36 = 45 não é quadrado de ninguém (o sentido de não existir inteiro positivo x de forma que x² = 45). Assim, (3 , 6, ai) não será TP, qualquer que seja o valor de ai.

Será que na PA acima há um outro TP que não seja o (9, 15 , 15)? Será que é possível responder a esta pergunta 'olhando' somente para a0 e para r? Deixaremos as respostas para o próximo post. Caso você tenha alguma solução para a(s) pergunta(s) , coloque-a(s) em 'comentários'!

PS.: Desculpe-nos o longo atrazo para esta postagem, a qual estava programa para o dia 07 - 11.


Nenhum comentário: