tg(π /8) = √2 - 1

Um problema de trigonometria:

Prove que tg(π /8) = √2 - 1.

Sabendo que

tg(a+b) = (tg a + tg b)/(1 - tg a · tg b) [veja 'rascunho 1']

podemos concluir que

tg (2a) = (2 · tg a)/(1 - tg²a).

Agora, fazendo a = π/8 e x = tg(π/8) na igualdade acima e usando o fato de tg(π/4) = 1, teremos

1 = 2x/(1 - x²)
x² + 2x - 1 = 0.

Resolvendo a equação acima, encontramos como conjunto solução S = {√2 - 1, -√2 - 1}. Observando que tg(π /8) > 0, temos que tg(π /8) = x = √2 - 1 , como queríamos.