Acho que a maioria de vocês já devem ter ouvido falar do número de ouro (ou número áureo, ou proporção áurea) - aqui mesmo já colocamos um vídeo sobre o assunto (Arte & Matemática - Número de Ouro). Há muitos fatos curiosos que envlovem tal número, como por exemplo a natureza do crescimento: pode ser encontrado na proporção em conchas, seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), até na relação dos machos e fêmeas de qualquer colméia do mundo, e em inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento. Mas com tanta aparição na natureza, não podia ficar de fora da própria matemática! O fato é que 'em num triângulo retângulo cujo os lados estão em P.G., tem-se necessariamente que a razão - desta P.G. - ao quadrado é igual ao número de ouro'.
Para verificar isso, considere o triângulo retângulo abaixo, onde 'q' é a razão da P.G.
(x/q)² + x² = (x·q)²
x²/q² + x² = x²·q²
x²/q² + x² = x²·q²
(x² + x²·q²) = x²·q²·q²
x²(1 + q²) = x²·(q²)²
1 + q² = (q²)²
(q²)² - q² - 1 = 0
Resolvendo a equação acima (por Bháskara), em q², obtemos q² = (1 + √5)/2 ou q² = -(√5 - 1)/2. Donde segue que q² = (1 + √5)/2, que é o número de ouro.
Mostramos que o quadrado da razão da P.G. - que envolve os lados de um triângulo retângulo - é igual ao número de ouro.
Mostramos que o quadrado da razão da P.G. - que envolve os lados de um triângulo retângulo - é igual ao número de ouro.
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