Nosso principal objetivo, no que passaremos a apresentar, é tentar 'encontar' Ternos Pitagóricos (T.P.) em uma Progressão Aritimética (P.A.). Para tanto, procuramos usar apenas ferramentas que sejam do conhecimento de alunos do Ensino Básico. Assim, vimos a necessidade de se definir os conceitos de P.A. e T.P. - os quais serão expostos um pouco mais adiante - , tornando assim o presente texto acessível, também, aos alunos do Ensinos Fundamental II e Médio.
Os gregos sabiam que um triângulo com lados medindo 3, 4, 5 era retângulo. Assim, uma questão natural é 'que outros triângulos retângulos têm lados cujos comprimentos sejam múltiplos inteiros de uma unidade de comprimento?'. Tendo em vista o famoso teorema de Pitágoras, expressado (algebricamente) pela equação
a² + b² = c² , (*)
onde a e b são os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo e c o comprimento da hipotenusa deste triângulo, tem-se que a 'questão' acima é equivalente ao problema de encontrar todas as soluções inteiras (a, b, c) da igualdade (*). Qualquer terno de números deste tipo é chamado de terno de números pitagóricos, ou simplesmente, terno pitagórico.
A seguir, alguns exemplos de ternos pritagóricos:
(1) (3 , 4 , 5): 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², assim 3² + 4² = 5².
(2) (6 , 8 , 10): 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10², assim 6² + 8² = 10².
Agora observe que
(6 , 8 , 10) = (2.3 , 2.4 , 2.5),
ou seja, o terno (6,8,10) pode ser obtido do terno (3,4,5) multiplicando por 2 cada um dos termos de (3,4,5). Os ternos (3,4,5) e (6,8,10) não são essencialmente distintos, uma vez que correspondem a triângulos retângulos semelhantes (por que?). Mais adiante, definiremos ternos pitagóricos primitivos, deferenciando assim estes tipos de ternos pitagóricos. Antes, temos umas perguntas:
1ª) Será que todo terno pitagórico é "um múltiplo" do terno (3 , 4 , 5)?
¬ Resposta: Não! Por exemplo, 5, 12 e 13 são tais que 5² + 12² = 13² e, no entanto, não existe número natural k tal que (5 , 12 , 13) = (3k , 4k , 5k).
2ª) Dados um terno pitagórico (a , b , c) e um inteiro positivo k, é verdade que (ak , bk , ck) é terno pitágorico?
¬ Resposta: Sim! (ak)² + (bk)² = a²k² + b²k² = k²(a² + b²) = k²c² = (kc)².
Com a última questão conclui-se que existe infinitos ternos pitagóricos, pois o conjunto dos números inteiros positivos é infinto.
Para completar nossa intridução, vejamos o que é uma Progressão Aritimética (P.A.).
Definição (P.A.) : Uma Progressão Aritimética é uma sequência de números (reais) na qual a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma, ou seja, é uma sequência a0 , a1 , a2 , ..., an ,... de forma que
a1 - a0 = a2 - a1 = ... = an - an-1 = ... = r
para algum número (real) r. Tal constante é chamada de razão de progressão.
Obs.: A seqüência acima não é necessariamente infinita!
Exercício: Convensa-se que em uma P.A. qualquer a0 , a1 , a2 ,..., an ,... de razão r, seu termo geral 'an' é dado por an = a0 + nr, n ≥ 1.
Como queremos relacionar ternos pitagóricos com P.A., consideraremos apenas aquelas P.A.'s crescentes, cujos termos são inteiros positivos. Além disso, sempre escrevermos um terno (a,b,c) queremos dizer que ele é pitagórico.
Ficaremos por aqui ...
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