Quem NÃO sabia que?

Quem NÃO sabia que o quadrado de um número inteiro não pode terminar em mais de três algarismos iguais a 4?

Exemplos de inteiros cujo quadrado termina em três 4's:

• 38² = 1.444
• 462² = 213.444
• 538² = 289.444
• 962² = 925.444

Uma Prova: Suponha que exista um número (inteiro) n tal que seu quadrado termina em quatro 4's. Assim, n² - 4.444 é divisível por 10.000. Por outro lado, 10.000 = 16x625, ou seja, 10.000 é divisível por 16. Logo n² - 4.444 também é divisível por 16. Além disso, 4.444 = 16x277 + 12. Portanto,

n² - (16x277 + 12) = 16k => n² - 12 = 16(k+16x277) ,

ou seja, n² - 12 também é divisível por 16, isto é,

n² = 16q + 12 = 4(4q + 3).

Podemos concluir daí que 4q + 3 é um quadrado perfeito (pois n é inteiro!), ou seja, 4q + 3 = r², para algum inteiro r. Mas como 4q + 3 é ímpar, tem-se claramente que r também é ímpar (r = 2s + 1) e assim

4q + 3 = r² = 4s² + 4s + 1 =>
4(s² + s - q) = 2,

o que é um absurdo em Z. E o absurdo está em supor que n² termina em quatro 4's.

Exercício [Uma outra Prova - direta]

(a) Mostre que o quadrado de um número inteiro n termina em três algarismos iguais a 4 se e só se n puder ser colocado na forma 500k ± 38, onde k é um inteiro.

(b) Usando o item (a), mostre que se o quadrado de um número inteiro n termina em três algarismos iguais a 4, o algarismo da unidade de milhar de n² é necessariamente ímpar.

(c) Conclua que o quadrado de um número inteiro não pode terminar em mais de três algarismos iguais a 4.

PS.: Coloque sua(s) solução(ões) em comentários!