O Problema dos Quatro Quatros

Problema: Escrever, com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode figurar (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letra(s), tais como: log, ln, lim, exp, etc. No entanto, podem ser utilizados símbolos como: fatorial (!) , raiz quadrada ( √ ) , etc - estes não envolvem letras no nosso alfabeto.

A origem do problema (desafio), não sei, mas acredito que este popularizou-se (pelo menos aqui no Brasil!) através do livro 'O Homem que Calculava' (Malba Tahan). Segundo o autor, é possível escrever (com quatro quatros) todos os números inteiros entre 0 e 100. Não sei se ele quiz parecer o Fermat, mas até agora não encontrei nenhuma solução "completa" para o problema acima. Há várias versões aí na rede (WEB), porém, nenhuma satisfatória. Para se ter uma idéia, em algumas "soluções", chegaram a inventar um novo símbolo para a matemática: 5? = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 (talvez inspirado em '!' : 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 ). Isto porque há alguns números que são complicados para se escrever (usando os quatro quatros). Por exemplo, 33, 41, 53, 57, dentre outros. O 41, por exemplo, pode ser escrito da seguinte forma:

4x4? + 4/4 ou [44 - √(4+4)],

onde o símbolo "[ ]" representa a função menor inteiro.

Das duas soluções acima, prefiro a segunda, pois esta usa a função 'menor inteiro', enquanto a primeira, faz uso de um símbolo que não faz parte da matemática (eu - Francisco - como "rato de biblioteca", nunca vi este símbolo em nehum livro!). Mas a boa notícia é que para escrever o número 41, em particular, não precisamos de "?" nem de "[ ]":

41 = √(((4x√4)! + 4!) / 4!).

Agora o número 33 pode ser escrito como

(4!/√4 , √4)/√4 ou ( √√√(4^4!) + √4 ) / √4 ,

onde ( n , p ) = n!/p!(n-p)!.

Abaixo segue uma lista de 0 a 33. Em breve, colocarei os números de 34 a 100.

0 = 4/4 - 4/4   || 1 = 44/44   || 2 = 4/4 + 4/4   || 3 = (4+4+4)/4   || 4 = 4 + 4x(4 - 4) 

5 = (4 + 4x4)/4    || 6 = 4 + (4 + 4)/4  ||      7 = (44/4) - 4     || 8 = 4 + 4 + 4 - 4

9 = 4 + 4 + 4/4    || 10 = (44 - 4)/4     || 11 = 4 + (4 + 4!)/4   || 12 = (4 + 44)/4

13 = 4! - 44/4       || 14 = 4 + 4 + 4!/4   ||    15 = 4x4 - 4/4     || 16 = 4 + 4 + 4 + 4 

17 = 4x4 + 4/4    || 18 = 4! - (4 - 4/4)!   || 19 = 4! - (4 + 4/4)   || 20 = 4x(4 + 4/4) 

21 = 4! - 4 + 4/4   || 22 = 4! - (4+4)/4    || 23 = ((4x4!) - 4)/4   || 24 = 4 + 4 + 4x4

25 = (4x4! + 4)/4   || 26 = 4! + (4 + 4)/4  || 27 = 4 + 4! - 4/4    || 28 = 44 - 4x4

29 = 4 + 4! + 4/4   || 30 = (4 + 4/4)! /4)  || 31 = 4! + (4 + 4!)/4 || 32 = 4x4 + 4x4

33 = (4!/√4  ,  √4)/√4