sábado, 11 de agosto de 2007

Calculando o seno e cosseno de 18º

Considere o ΔABC isósceles, com AB = 1 = AC e BÂC = 36º [Figura abaixo].

Então, AĈB = 72º = CBA (pois a soma dos ângulos interenos de um triângulo, qualquer, é igual a 180º). Agora, se traçarmos a bissetriz CD do ângulo AĈB, teremos dois novos triângulos isósceles: ΔADC (com base AC) e ΔBCD (com base BD) - [Figura abaixo].

Fazendo BC = x = CD, temos que DA = x e ΔCDB ~ ΔABC (três ângulos iguais). Logo, CB/DB = CA/CB, isto é, x/(x-1) = 1/x, ou ainda x.x + x – 1 = 0. Resolvendo esta última equação, conclui-se que
x = (√5 - 1)/2.
Traçando a altura AH no ΔABC [Figura abaixo] temos sen18º = HB/AB = (x/2)/1 = x/2 , ou seja,
sen 18º = (√5 - 1)/4.
Usando a relação fundamental, chegamos a igualdade
cos 18º = √[(10 + 2√5)/16].



Execícios
1) Calcule o seno e o cosseno (sem usar calculadora) de cada um dos ângulos abaixo.
72º ; 36º ; 9º ; 108º ; 81º ; 102º ; 66º ; 39º ; 117º ; 54º ; 132º ; 96º ; 69º
2) Que mais ângulos podemos calcular o seno e o cosseno (sem usar calculadora) a partir dos (ou de alguns) ângulos acima?

Manfredo P. do Carmo
Augusto C. Morgado
Eduardo Wagner

8 comentários:

LUIS CARLOS disse...

Na demonstração de sen 18 e cos18 o cos 18 fica dividido por 4 não por 16, mas creio que vc já percebeu isto!
abraços Luis

Aulas.Mat disse...

Olá Luis Carlos!

Obrserve como está escrito:

cos 18º = √[(10 + 2√5)/16].

ou seja, ficaria dividido por 4 se escrevermos assim:

cos 18º = √(10 + 2√5)/4.

okay?

Abraços,
Francisco

Antônio disse...

Olá. Na demonstração quando ocorre a equação de x na primeira vez e resulta em x= raiz de 5..., como é chegado neste cálculo? Obrigado.
Antônio.

Aulas.Mat disse...

Olá Antônio!

Da equação x² + x - 1 = 0, temos (por Báskara) que:

x = {-1 + √[1-4.(-1)]}/2 ou
x = {-1 - √[1-4.(-1)]}/2

isto é,

x = (-1 + √5)/2 ou x = (-1 - √5)/2. Como x é a medida de um lado do triângulo, tem-se que x > 0 e portanto x = (-1 + √5)/2.

ok?!

Não sei se você observou, mas tem um pequeno erro de digitação:
"... Logo, CB/DB = CA/CB, isto é, x/(x-1) = 1/x ..." é na verdade "... Logo, CB/DB = CA/CB, isto é, x/(1-x) = 1/x ..." [observe na figura!]

O comentário foi legal porque acabei percebendo este "errinho".

Att,
Francisco.

Antônio disse...

Valeu o Esclarecimento.
Obrigado

Anônimo disse...

Oi, na parte da "relação fundamental", como fez para tirar o cos18º?

Marcelino Rodrigues disse...

Bacana to pegando o jeito mas tenho duvida como apareceu a (raiz de 5) poderia explicar-me.
Obrigado,
marcelino.

Marcelino Rodrigues disse...

Muito bacana a explicação to pegando o jeito, poderia explicar como apareceu a raiz de 5.
obrigado,
marcelino