Função quadrática com coeficentes ímpares

Esta semana que passou-se estava preparando uma lista de exercícios para um aluno e me deparei com um problema curioso e assim resolvi dividí-lo com vocês. O problema diz que as raízes de uma função quadrática (ou de 2º grau, como muitos chamam!) com coeficientes ímpares, não podem ser números racionais. Porém, quando estava resolvendo-o percebi que poderia enunciá-lo de uma forma diferente e obter uma informação adicional.

» Problema: Considere a função quadrática f(x) = ax² + bx + c, onde a , b e c são números inteiros ímpares. Seja r um zero da função f, ou seja, f(r) = 0. Então:

• se r é um número real, então r é irracional;
• se r é um número complexo (r = m + ni, com m e n reais), então a parte imaginária de r, denotada por Im(r), é irracional.

» Solução: Antes de darmos início de fato a solução, relembremos alguns fatos "básicos" de aritmética dos números inteiros:

1. se n é um número inteiro ímpar, então n² é um inteiro ímpar. Reciprocamente, se n² é ímpar, então n é ímpar;
2. o produtos de números ímpares tem como resultado um número ímpar;
   
3. o produto de dois inteiros consecutivos é sempre um número par.
4. a soma de um número ímpar com um número par tem como resultado um número ímpar.

Assim, pela propriedade 2, ac é um número ímpar. Além disso, como b é ímpar podemos escrevê-lo na forma b = 2k + 1, onde k é um número inteiro. Logo,

Δ = b² - 4ac
Δ = (2k + 1)² - 4ac
Δ = 4k² + 4k + 1 - 4ac
Δ = 4(k² + k - ac) + 1

Pela propriedade 3 acima, temos que k² + k = k(k + 1) é um número par, qualquer que seja o valor de k. Logo, agora pela propriedade 4, k² + k - ac é um número ímpar. Isto mostra, em particular, que Δ é diferente de 1. Além disso, escrevendo Δ = 4p + 1 (somente para facilitar a escrita!), onde p = k² + k - ac , podemos observar que Δ não é um quadrado perfeito, ou seja, não existe nenhum inteiro s de forma que s² = Δ. De fato, se existisse um inteiro s tal que 4p + 1 = s² teríamos necessariamente (pela recíproca da propriedade 1) que s seria ímpar. Assim poderíamos escrevê-lo na forma s = 2q + 1, onde q é um inteiro. Portanto

4p + 1 = s²
4p + 1 = (2q + 1)²
4p + 1 = 4q² + 4q + 1
4p = 4(q² + q)
p = q² + q
p = q(q + 1)

Mas a igualdade acima não pode acontecer, pois p é um número ímpar e q(q+1) é um número par, qualquer que seja o valor de q. E tal absurdo se dá ao supor que Δ é um quadrado perfeito.

Agora basta usar a fórmula de Bhaskara para concluir a solução! (exercício) Fica também como exercício para o leitor verificar as propriedades 1, 2, 3 e 4. Além disso, você pode tentar resolver o problema usando as relações de Girard*. Para isso, tente primeiro supondo que a = 1.

Postem suas dúvidas, comentários, soluções, etc. Até a próxima!

*r + r' = -b/a e r . r' = c/a