Olhar e Ver

Quem não nunca ouviu falar de um caso que se conta acerca de Carl Friedrich Gauss (1777 à 1855), quando era aluno do ensino básico. O seu professor, J. G. Büttner, deu como exercício para ser resolvido na aula, calcular a soma dos 100 inteiros, 1, 2, 3, ... , 100. Mal o professor acabara de enunciar o exercício, o jovem Gauss levantou-se e colocou sua resposta na mesa do professor, dizendo: aqui está! Tinha escrito um único número no papel: o número 5050.

O professor ficou muito admirado e quis naturalmente saber como é que Gauss tinha encontrado tão rapidamente aquele resultado. Gauss disse-lhe ter observado que

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 50 + 51 = 101.

Assim, o conjunto dos números dados poderia considerar-se formado por 50 grupos de dois números cuja soma é 101. Como conseqüência, a soma dos 100 números considerados é igual a 101 x 50, ou seja, 5050, "resultado que obtive por simples cálculo mental". Gauss teria então 10 anos, segundo uns autores, e teria apenas 8, segundo outros.

A observação do jovem aluno Gauss permitiu transformar aquela soma de 100 parcelas num simples produto de dois factores, 101 x 50.

Note que 1 + 2 + ... + 100 = 50 x 101 = [100 x (100 + 1)]/2. E se fosse de 1 a 101? Isto é, como calcular "rapidamente" a soma: 1 + 2 + ... + 99. O Gauss (acho eu!) faria da mesma forma:

1 + 101 = 2 + 100 = ... = 49 + 53 = 50 + 52 = 102.

Portanto, a soma 1 + 2 + ... + 101 = 50x102 + 51 = 5151.

Nosso objetivo, a partir de agora, é encontrar uma fórmula para uma soma do tipo: 1 + ... + n, onde n é um inteiro positivo maior do que 1. Para o caso em que n=101, usando o mesmo raciocínio de Gauss, obtemos

(1 + 2 + ... + 100) + 101 = [100x(100 + 1)]/2 + 101 =

= [100x101 + 2x101]/2 = [101x(100 + 2)]/2 = [101x(101 + 1)]/2

Resumindo: no caso em que n = 100 ou n = 101, obtemos, respectivamente

1 + 2 + ... + 100 = [100x(100 + 1)]/2 e
1 + 2 + ... + 101 = [101x(101 + 1)]/2 .

Tal raciocínio pode ser generalizado para obter uma expressão para o caso em que n é um inteiro positivo qualquer, maior do que 1:

1 + ... + n = [nx(n + 1)]/2 .

Nota: Com um raciocínio análogo, chega-se a uma expressão para a soma dos n primeiros termos de uma PA.