sábado, 23 de fevereiro de 2008

Números Complexos - Parte II

Como observado no 'post' anterior sobre este tema, foram Gaus e Hamilton quem propuseram a idéia de representar números complexos como pares ordenados. Por exemplo, o número complexo -2 + 8i é representado por (-2,8). Já os números (complexos) -3i e 7 são representados, respectivamente, por (0,-3) e (7,0).

Define-se a igualdade de números complexos como

a + bi = c + di <=> a = c e b = d

Na representação em pares ordenados para a igualdade acima, temos

(a,b) = (c,d) <=> a = c e b = d.

A soma e o produto de números complexos são definidos por

(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

(a,b) . (c,d) = (ac - bd, ad + bc) ,

respectivamente. Estas definições cumprem as propriedades básicas de comutatividade, associatividade e distributividade (exercício!). Além disso, o número complexo (0,0) é o elemento neutro para a soma [(a,b) + (0,0) = (a,b) = (0,0) + (a,b)] e o número complexo (1,0) é elemento identidade para o produto [(a,b) . (1,0) = (a,b) = (1,0) . (a,b)].

Todo número complexo (a,b) tem um oposto¹, que é (-a,-b), e um inverso² [exceto o número(0,0)] que é

(a/(a² + b²) , -b/(a² + b²)).

No próximo 'post' sobre números complexos, indicaremos como "olhar" para este conjunto como uma extensão do conjunto dos números reais.

Exercício 1: Verifique as propiedades das operações de soma e produto.

Exercício 2: Verique as afirmações sobre o oposto e o inverso de um número complexo.

¹Oposto: y é (um) oposto de x se x + y = 0 = y + x .

²Inverso: y é (um) inverso de x se x.y = 1 = y.x .

OBS: Uma cópia deste post em http://morfismo.wordpress.com

Um comentário:

Anônimo disse...

O gajo que inventou o inverso era um Zé pq já existia o conjugado!