terça-feira, 27 de novembro de 2007

|sen(b) - sen(a)| <= |b - a|

Mostremos que [sen(a) - sen(b)[ ≤ [a - b[, onde [x[ denota o módulo de x. Para isto, faremos uso do TVM (Teorema do Valor Médio).

1º caso: se a = b, então a desigualdade é óbvia!

2º caso : se a ≠ b, por exemplo, b > a. Definamos a função f por f(x) := sen(x), x real. Então f é derivável em (a , b) e pelo TVM existe c pertencente ao intervalo (a , b) tal que f´(c) = {f(b) - f(a)}/(b - c), ou seja,

cos(c) = {sen(b) - sen(a)}/(b - c).

Agora, usando o fato cos(c) ≤ 1, temos que

[sen(b) - sen(a)[ = [b - a[[cos(c)[[b - a[.

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