cos(a - b) = cos a · cos b + sen a · sen b

A idéia deste e do próximo 'rascunho' é apresentar duas maneiras distintas de se deduzir fórmulas do tipo:

cos(a - b) = cos a · cos b + sen a · sen b

Em outras palavras: deduziremos fórmulas que calculam as funções trigonométricas da soma e da diferença de dois arcos cujas funções são conhecidas.

:: 1ª Maneira ::

Antes de mais nada, lembremos que a distância entre dois pontos do plano (x,y) e (z,w) é dada por

d² = (x - z)² + (y - w)².

Consideremos então no círculo de raio 1 os pontos P e Q (figura 1.) tais que:

i) medida do arco AP = a
ii) medida do arco AQ = b

Figura 1.

Como P = (cos a, sen a) e Q = (cos b, sen b), a distância d entre os pontos P e Q é dada por

d² = (cos a - cos b)² + (sen a - sen b)² =

cos²a - 2cos a · cos b + cos²b + sen²a - 2sen a · sen b + sen²b =

cos²a + sen²a + cos²b + sen²b - 2(cos a · cos b + sen a · sen b) =

1 + 1 - 2(cos a · cos b + sen a · sen b) =

2 - 2(cos a · cos b + sen a · sen b).

Mudemos agora nosso sistema de coordenadas girando os eixos de um ângulo b em torno da origem (figura 2.)

Figura 2.

Neste novo sistema de coordenadas, o ponto Q tem coordendas 1 e 0, ou seja, Q = (1,0). Além disso, o ponto P tem coordenadas cos(a - b) e sen(a - b), isto é, P = (cos(a-b), sen(a-b)). Calculando novamente a distância entre os pontos P e Q, obtemos

d² = [1 - cos(a - b)]² + [0 - sen(a - b)]² =

1 - 2cos(a - b) + [cos²(a - b) + sen²(a - b)] =

2 - 2cos(a - b).

Igualando os valores de d², obtemos

2 - 2(cos a · cos b + sen a · sen b) = 2 - 2cos(a - b),

ou seja,

(I) cos(a - b) = cos a · cos b + sen a · sen b.

Trocando 'b' por '-b' e usando o fato de cos(-b) = cos b e sen(-b) = - sen b, na igualdade acima, obtemos

(II) cos(a + b) = cos a · cos b - sen a · sen b.

Exercícios

1) A partir das duas igualdades acima - (I) e (II) -, deduza que:
a) sen(a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
b) sen(a - b) = sen a · cos b - sen b · cos a

2) Usando (I) e (II), a igualdade tg x = (sen x)/(cos x) e o exercício 1), deduza que tg(a - b) = (tg a - tg b)/(1 + tg a · tg b) e tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 - tg a · tg b).

PS.: Coloque sua(s) solução(ões) em 'comentários'.