Trigonometria - Máximo de Funções

Abordaremos neste post o estudo do máximo de funções reais do tipo

f: R --> R definida por f(x) := msen(x) + ncos(x),

com m e n sendo constantes reais e não ambas nulas.

Queremos encontrar o valor máximo que a função f assume. Veremos que tal valor depende somente de m e n.

Para tanto, considere r = √(m² + n²). Assim, r é diferente de zero e podemos escrever

f(x) = r(m/r) sen(x) + r(n/r) cos(x).

Mas dado que (m/r)² + (n/r)² = 1, temos que existe α real tal que cos(α) = m/r e sen(α) = n/r. Donde segue-se que

f(x) = r[cos(α) sen(x) + sen(α) cos(x)] = r sen(x + α).

Sabemos que a função seno tem 1 como valor máximo. Portanto, f(x) ≤ r = √(m² + n²), para todo x real. Isto mostra nossa tese!

Exercícios

1) Ache os valores de máximo e de mínimo atingidos por cada uma das funções abaixo:

(a) f(x) = sen(x) + cos(x)

(b) g(x) = 2sen(x) - 3cos(x)

2) Para cada um dos valores obtidos acima, encontre o valor de x de forma que a imagem de x (pela função) seja máximo.

3) Para cada um dos valores obtidos em 1), encontre o valor de x de forma que a imagem de x (pela função) seja mínimo.